Ganho real com Tesouro IPCA+ em qualquer cenário inflacionário

A expectativa de um investidor em relação a títulos atrelados a índices de inflação é, na pior das hipóteses, manter o poder de compra do montante investido. No entanto, em virtude da existência das taxas e impostos que oneram o montante bruto resgatado, existe a possibilidade do investidor se deparar com rentabilidade real negativa em alguns casos.

Um investidor de Tesouro IPCA+ (antiga NTN-B Principal) que planeja carregar o papel até a data de vencimento não exerce influência sobre a taxa de custódia, a alíquota de IR (de 15% para aplicação de longo prazo) e a inflação. Logo, sobram apenas o prazo de aplicação e a taxa pactuada para impedirem uma eventual rentabilidade negativa.

A taxa pactuada é determinada pelas condições de mercado no dia de compra, o que permite o desenvolvimento de fórmulas simples para a taxa pactuada mínima necessária que ajudarão a indicar se determinado investimento é adequado ou não. 

Neste post, são apresentados os procedimentos para o desenvolvimento das fórmulas supracitadas e exemplos de aplicações.

Fórmula 1: Simplificada desconsiderando Taxa de Custódia

 

A primeira fórmula que será desenvolvida despreza a taxa de custódia para facilitar na introdução dos conceitos. O valor de resgate, VR_IPCA, de um montante M₀ corrigido pelo índice IPCA é dado pela equação:

Onde i_IPCA corresponde ao índice acumulado durante o período da aplicação. Tomando como exemplo três meses em que os índices mensais foram iguais a 0,70%, 0,60% e 0,99%, teríamos i_IPCA ≅ 2,3071%.

O valor de resgate, VR_NTN-B*, de uma aplicação no Tesouro IPCA+ sem considerar taxa de custódia pode ser estimado através da seguinte fórmula [3]:

Onde i_p corresponde à taxa pactuada equivalente para todo o período de aplicação, e IR à alíquota de imposto de renda.

Para que o Tesouro IPCA+ não apresente rentabilidade real negativa, é preciso que:

Com base nas três expressões anteriores, tem-se:

Isolando a taxa pactuada equivalente, tem-se a seguinte condição para a taxa mínima necessária para uma determinada inflação:

Conforme esperado, a expressão acima revela que, quanto maior a inflação, maior deve ser a taxa pactuada para que a rentabilidade real não seja negativa. Porém, o mais importante é verificar que, para 0 ≥ i_IPCA > +∞, o membro da direita da inequação é limitado superiormente, pois, para qualquer valor não-nulo de i_IPCA, existe um conjunto de valores maiores que o membro em questão. O menor valor do conjunto é IR/(1 - IR), logo é possível expressar:

A condição acima pode ser entendida mais facilmente através da visualização da curva do gráfico do membro da direita pela inflação acumulada:

Figura 1: gráfico de (IR * i_IPCA)/[(i_IPCA+1)(1 - IR)] por i_IPCA

Portanto, desconsiderando a taxa de custódia e com base nas duas últimas inequações, o investidor garantirá ao menos uma rentabilidade real nula se a taxa pactuada equivalente satisfizer a seguinte condição:

Exemplo de Uso da Fórmula 1

Considere uma aplicação em Tesouro IPCA+ que vence em 3 anos. Para qualquer aplicação superior a 2 anos, tem-se:

É preciso converter a taxa para todo o período para taxa anual:

O resultado acima revela que, se não houvesse taxa de custódia, o investidor garantiria uma rentabilidade não nula com uma taxa pactuada anual igual ou superior a 5,57% independentemente da inflação acumulada no período.

Fórmula 2: Simplificada considerando Taxa de Custódia

 

Não é possível obter uma estimativa satisfatória do valor da taxa de custódia, pois ela é dependente dos preços aleatórios de mercado. Para formar uma expressão que seja válida qualquer que seja a variação de preços entre a data de liquidação e a de vencimento, é utilizada a expressão do "máximo" valor possível [1]. O retorno do Tesouro IPCA+ neste cenário seria:

Onde i_cust,d corresponde à taxa de custódia diária, e n ao número de dias.

Para que não haja rentabilidade negativa é preciso que:

Manipulando a expressão acima:

Para i_IPCA → +∞, teríamos:

As fórmulas são válidas apenas para os casos em que 1 - IR > n . i_cust,d. Elas são idênticas às fórmulas da seção anterior, com exceção dos termos adicionais em vermelho. Para n = 0 ou i_cust,d = 0 as fórmulas das seções se igualam.

Nota-se que, em decorrência da inclusão da taxa de custódia, a taxa pactuada equivalente mínima aqui obtida é dependente do prazo de aplicação.

Pelo fato da seção anterior considerar o menor valor possível para a taxa de custódia (isto é, sua inexistência) e esta seção o "maior" valor possível, o valor da taxa pactuada (i_p^*) que seria suficiente para retorno real nulo em uma determinada inflação pertence ao intervalo definido por fórmulas intermediárias das duas seções. Isto é:

Exemplo de Uso da Fórmula 2

Para as mesmas condições do exemplo da fórmula 1, teríamos:

Convertendo para taxa anual e arredondando o resultado para cima, tem-se:

Por conseguinte, uma taxa pactuada de 5,95% a.a. ou maior em uma aplicação de 3 anos é suficiente para impedir que o investidor tenha retorno real negativo em qualquer cenário inflacionário.

A taxa obtida é confrontada com os resultado do simulador do Tesouro Direto [2]. Convém relembrar que o simulador considera que a taxa de custódia entra no cálculo do IR, o que não ocorre na prática.

O resultado para 10% a.a.:

Figura 2: "print" (editado) do resultado da calculadora para taxa de 10% a.a

Em um cenário que reflete bem o ano de 2016, a taxa pactuada foi bem sucedida ao permitir rentabilidade real positiva. A seguir são exibidos os resultados para taxas maiores e menos típicas, a saber: 100%, 1.000% e 100.000% a.a..

Figura 3: "print" (editado) do resultado da calculadora para taxa de 100% a.a

 

Figura 4: "print" (editado) do resultado da calculadora para taxa de 1.000% a.a

Figura 5: print (editado) do resultado da calculadora para taxa de 100.000% a.a

Os resultados acima demonstram que, em condições de surto inflacionário, não houve rentabilidade real negativa. Finalmente, abaixo é exibido o resultado para a máxima taxa possível permitida (9.999.999.999% a.a.!) pela calculadora:

Figura 6: "print" (editado) do resultado da calculadora para a maior taxa de inflação permitida

Em um cenário catastrófico e inimaginável, a rentabilidade real teórica continuou positiva, o que demonstra o sucesso da fórmula 2 para os casos abordados.  

Obviamente, aplicações de 3 anos com taxas pactuadas inferiores à taxa de 5,95% a.a. estão sujeitas a retornos reais negativos. Um possível caso é exibido abaixo:

Figura 7: taxa pactuada pequena que resultou em rentabilidade real negativa.

A fórmula 2, assim como a 1, é válida para todas as taxas de inflação (de 0% +∞ a.a.), então para uma inflação relativamente pequena como 30% a.a. (que na prática é bem alta) é normal que haja superestimação da taxa pactuada mínima necessária. Por esta razão, mesmo uma taxa bem inferior a 5,95% a.a. ainda quase possibilitou rentabilidade real positiva.

Caso queira estimar a taxa pactuada mínima necessária para inflações iguais ou inferiores a um determinado valor, basta usar a fórmula imediatamente anterior à fórmula 2, conforme a consideração final da seção anterior. Um exemplo é fornecido abaixo:

Ou seja, para ter total certeza de rentabilidade real nula ou positiva com inflações até 30% a.a. em um prazo de 3 anos, a taxa pactuada só precisa ser igual ou superior a 3,48% a.a..

Conclusão

 

A única rentabilidade positiva garantida pelo Tesouro IPCA+ em períodos inflacionários é a bruta. Para que haja garantias de rentabilidade real, basta o investidor se atentar ao prazo de investimento e à taxa pactuada ao investir no papel.

Tendo em vista que é o investidor o responsável por determinar a taxa pactuada (ao aceitar as condições do dia da compra) e que as taxas mínimas pactuadas necessárias não são tão rígidas, dificilmente ele terá que se preocupar muito com a natureza do retorno real, podendo assim se concentrar em outros fatores para tomar a decisão de investir ou não em Tesouro IPCA+.

Links Relacionados

1. Notas Financeiras: Taxa de custódia da BM&FBOVESPA no Tesouro Direto
2. Tesouro Direto: Calculadora
3. Tesouro Direto: Cálculo de rentabilidade da NTN-B Principal

Downloads

1. Arquivo .sci (Scilab) com gráfico utilizado
2. Planilha Excel para cálculo de taxas pactuadas mínimas

Taxa de custódia da BM&FBOVESPA no Tesouro Direto

Ao realizar a análise de possíveis investimentos, é importante conhecer as taxas e os impostos que incidem nos produtos de interesse para a obtenção de projeções de rentabilidade líquida, que auxiliarão na decisão final.

No caso do Tesouro Direto, há a cobrança das taxas de custódia da BM&FBOVESPA e de administração do agente de custódia. Por sua vez, os impostos são os mesmos que incidem na maioria dos demais títulos de renda de fixa: Imposto Sobre Operações Financeiras (IOF) e Imposto de Renda (IR). [1]

Como o IOF só se aplica a resgates realizados em curtíssimo prazo (menos de 30 dias) e há cada vez mais instituições abrindo mão da taxa de administração [2], estas duas cobranças podem ser desprezadas da maioria das simulações sem que haja prejuízo. Assim, em uma eventual simulação da rentabilidade de títulos do Tesouro, é geralmente suficiente considerar apenas a taxa de custódia e o IR.

O cálculo do IR para aplicações é amplamente difundido, mas o mesmo não se verifica para a taxa de custódia. Por esta razão, ela é abordada neste texto.

Características da Taxa

 

 Do site do Tesouro [3]:

"Taxa de custódia de 0,30% a.a. sobre o valor dos títulos, referente aos serviços de guarda dos títulos e às informações e movimentações dos saldos. Essa taxa é provisionada diariamente a partir da liquidação da operação de compra (D+2). Por ser provisionada diariamente, é cobrada proporcionalmente ao período em que o investidor mantiver o título, e é cobrada até o saldo de R$1.500.000,00 por conta de custódia."

Pela definição acima e supondo saldo total da conta de custódia inferior ao valor estipulado, o valor devido em decorrência da taxa de custódia referente a um determinado dia e determinado título é dado pela expressão:

Onde PREÇO_unit é o preço do título no mercado no dia em questão (em final de semana ou feriado, o preço é igual ao do último dia útil anterior), n a quantidade de papéis e i_cust,d é a taxa de custódia ao dia, dada pela expressão a seguir:

Nota-se que há dois empecilhos para a formulação de uma expressão geral estimadora do valor total. O primeiro deles é o fato de que a taxa é provisionada todos os dias, enquanto as variações de preço do título ocorrem apenas nos dias úteis. Mesmo expressões baseadas na hipótese de crescimento uniforme do preço do título da data de liquidação até a de vencimento são impactadas por esta condição.

O segundo, e bem mais limitante, é que os preços até a data de vencimento (referidos aqui como preços intermediários) dependem das condições de mercado, o que os tornam aleatórios do ponto de vista de uma expressão. O único valor conhecido é o valor nominal unitário na data de vencimento. Para uma LTN (atual Tesouro Selic), o valor é de R$ 1.000,00. [4]

A dependência do valor da taxa de custódia ao caminho percorrido pelos preços é exemplificada a seguir. Considere 1,00 LTN cujo preço na data de liquidação (dia 0), a cem dias da data de vencimento, é igual a R$ 100,00. Considere também três possíveis curvas de preço até a data de vencimento, conforme a figura abaixo:

Figura 1: Três possíveis caminhos para a LTN apresentada. Na prática, as curvas de preço são muito mais caóticas e não são crescentes.

Para o caminho vermelho, teríamos uma taxa de custódia estimada de R$ 0,57. Para o caminho preto, taxa de R$ 0,44. Finalmente, para o azul, uma taxa de custódia de R$ 0,32.

A taxa de custódia não entra no cálculo do IR, diferentemente da consideração adotada pela calculadora oficial.

A cobrança da taxa de custódia só pode ser efetuada em três datas: primeiro dia útil de janeiro, primeiro dia útil de julho e data de venda (juros, vencimento do título ou venda antecipada). O pagamento requer que o investidor tenha saldo suficiente em conta da corretora, salvo em casos de venda, situações nas quais a taxa pode ser paga com o valor resgatado. Os detalhes são transcritos abaixo [3]:

"Em relação ao modo de cobrança, em regra geral, para títulos adquiridos a partir de 06.04.2009, as taxas são cobradas semestralmente, no primeiro dia útil de janeiro ou de julho, quando o valor das taxas de toda a carteira ultrapassar R$ 10,00, ou, por título, na ocorrência de um evento de custódia (pagamento de juros e vencimento do título) ou na venda antecipada, o que ocorrer primeiro. Enquanto esses eventos não ocorrem, as taxas devidas são diariamente acumuladas no extrato, sob o status de devida, o que, não quer dizer que é exigido o pagamento imediato."

 Fórmula para Valor "Máximo"

 

Pelas razões expostas acima, não é possível criar uma fórmula para estimar o valor da custódia. No entanto, é possível obter uma expressão para o valor "máximo" que se poderia pagar de taxa, isto é, o valor que seria pago no cenário considerado como o pior possível.

Basicamente, a expressão proposta iguala todos os preços intermediários ao valor nominal no vencimento (VNV). Nestas condições, o montante pago seria dado pela expressão simples abaixo:

Para o exemplo da seção anterior, teríamos n = 100 e VNV = R$ 1.000, o que implicaria em V_cust = R$ 0,82. Logo, para as condições dadas e independentemente do caminho que os preços percorrerão, o valor que se pagará será igual ou inferior a 82 centavos.

Convém ressaltar que a rigor o valor nominal no vencimento não é o preço máximo possível para um preço intermediário, razão pela qual se utilizou aspas. Caso o Brasil venha a ter juros nominais negativos, o preço de compra será maior do que o valor na data de vencimento, mas isto ainda é uma realidade bem distante do país.

Links Relacionados

1. Tesouro Direto: Perguntas Frequentes (Ver Seção "Quais os custos envolvidos na aplicação")?
2. Tesouro Direto: Ranking dos Agentes de Custódia 
3. Tesouro Direto: Cobrança de taxas no Tesouro Direto
4. Tesouro Direto: Cálculo da rentabilidade da LTN

Downloads

1. Arquivo .sci (Scilab) com gráfico e cálculos utilizados
2. Planilha Excel com evolução da taxa de custódia (pendente)